Симметрической группой множества X называется группа всех перестановок X (то есть биекций X →X) относительно операции композиции.

Симметрическая группа множества X обычно обозначается S(X). Если X = {1, 2,…, n}, то S(X) также обозначается через S_n.

Нейтральным элементом в симметрической группе является тождественная перестановка , определяемая как тождественное отображение:

для всех x из X.

Связанные определения

• Подгруппа симметрической группы S(X) называется группой перестановок (подстановок) X^[1].
• Коммутантом S_n является знакопеременная группа A_n.

Свойства

• При симметрическая группа S_n некоммутативна.
• При симметрическая группа S_n является неразрешимой (и напротив: при — разрешимой).
• В случае, если X конечно, число элементов S(X) равно n! (факториал n), где n — число элементов X. В частности,
• Каждая конечная группа G изоморфна некоторой подгруппе группы S(G) (теорема Кэли).
• Симметрическая группа S_n допускает следующее задание:

(Можно считать, что переставляет i и i+1.)

См. также

• PQ дерево — структура данных, используемая для представления симметрической группы.

Примечания